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两个向量相加等于零可以推出什么

两个向量相加等于零,即 (vec{a} + vec{b} = vec{0})(其中 (vec{0}) 是零向量),可以推出以下结论:

1. 它们是彼此的负向量

(vec{b} = -vec{a})(或等价地,(vec{a} = -vec{b}))。这意味着 (vec{b}) 是 (vec{a}) 的相反向量,反之亦然。

两个向量相加等于零可以推出什么
(图片来源网络,侵删)

2. 大小(模)相等

两个向量的模(magnitude)相等,即 (|vec{a}| = |vec{b}|)。

  • 如果两个向量都是零向量(即 (vec{a} = vec{0}) 和 (vec{b} = vec{0})),也满足此条件,但零向量的方向未定义。
  • 3. 方向相反(当向量非零时)

    如果向量不是零向量,则它们的方向相反(opposite directions)。在几何上,这表示它们共线(collinear),但指向相反的方向。

    两个向量相加等于零可以推出什么
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    几何和物理含义:

  • 在几何中,从原点出发,先移动 (vec{a}) 再移动 (vec{b}),会返回原点(路径闭合)。
  • 在物理学中,这表示两个力、速度或位移等相互抵消,达到平衡状态(例如,作用力和反作用力)。
  • 特殊情况:

  • 如果两个向量都是零向量,则自动满足 (vec{a} + vec{b} = vec{0}),但此时方向无意义。
  • 在向量空间中,这表示两个向量线性相关(linear dependent),因为 (vec{b} = -1 cdot vec{a})。
  • 核心结论是:两个向量相加为零表明它们大小相等、方向相反(非零时),且互为负向量。

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